浙江省专升本高数备考必看：历年真题核心知识点全面提炼与优化（11）

无穷小量比较是高等数学中的一个重要概念，它涉及到函数在极限过程中趋向于0的速度快慢。在解题时，我们需要明确三种不同的无穷小量关系：高阶无穷小、低阶无穷小和同阶无穷小（包括等价无穷小）。下面我将详细解释这些概念，并给出一些解题技巧和注意事项。

1. 高阶无穷小

定义：若 $lim_{x \to a} g ( x ) f ( x ) = 0$ ，则称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的高阶无穷小，记作 $f (x) = o (g (x))$ 。

解释：这意味着当 $x$ 趋近于 $a$ 时， $f (x)$ 趋向于0的速度比 $g (x)$ 快得多，以至于它们的比值趋向于0。

2. 低阶无穷小

定义：若 $lim_{x \to a} g ( x ) f ( x ) = \infty$ ，则称 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的低阶无穷小。

解释：这表示当 $x$ 趋近于 $a$ 时， $f (x)$ 趋向于0的速度远慢于 $g (x)$ ，导致它们的比值趋向于无穷大。

3. 同阶无穷小

定义：若 $lim_{x \to a} g ( x ) f ( x ) = C$ ，其中 $C$ 是非零常数，则称 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是同阶无穷小。特别地，当 $C = 1$ 时，称 $f (x)$ 和 $g (x)$ 等价，记作 $f (x) \sim g (x)$ 。

解释：这表示 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $x$ 趋近于 $a$ 时趋向于0的速度是“相当”的，即它们的比值趋向于一个非零常数。

解题技巧和注意事项

明确极限过程：首先确定 $x$ 是如何趋近于 $a$ 的（如 $x \to 0$ ， $x \to + \infty$ 等）。
化简表达式：在可能的情况下，通过代数变换、三角恒等式、洛必达法则等方法化简 $g ( x ) f ( x )$ 。
识别等价无穷小：熟悉常见的等价无穷小替换，如 $sin x \sim x$ （当 $x \to 0$ ）等，这可以大大简化计算。
注意无穷小量的不可比性：不是所有的无穷小量都可以相互比较。例如，当 $x \to 0$ 时， $x sin x 1$ 和 $x$ 都是无穷小量，但它们的比值极限不存在。
避免错误应用等价无穷小替换：等价无穷小替换只能用于单独的乘除运算中，不能用于加减运算或复合函数中。
利用泰勒展开：对于复杂的函数，可以考虑使用泰勒展开式来近似函数，从而更容易地比较无穷小量。

示例

例：判断 $sin x$ 和 $x^{2}$ 当 $x \to 0$ 时的无穷小量关系。

解：计算 $lim_{x \to 0} x ^{2} s i n x$ 。由于 $sin x \sim x$ （当 $x \to 0$ ），所以 $lim_{x \to 0} x ^{2} s i n x = lim_{x \to 0} x ^{2} x = lim_{x \to 0} x 1 = \infty$ 。因此， $sin x$ 是 $x^{2}$ 的低阶无穷小。