分段函数连续性的问题是高等数学中的一个重要考点，它涉及到函数在分界点处的连续性判断以及未知常数的求解。下面我将详细阐述这类问题的解题步骤和注意事项。

解题步骤

1. 明确分段函数：
   首先，需要明确分段函数的定义域以及每个区间上的函数表达式，特别是分界点处的函数表达式。

2. 理解连续性的定义：
   函数在某点连续的定义是：函数在该点的极限值等于该点的函数值。即，对于分段函数在分界点x0​处，需要满足limx→x0−​​f(x)=limx→x0+​​f(x)=f(x0​)。

3. 求左右极限：
   根据分段函数在分界点两侧的函数表达式，分别求出该点处的左极限和右极限。这一步通常需要使用到极限的运算法则、洛必达法则、等价无穷小替换等技巧。

4. 求分界点的函数值：
   直接根据分段函数的定义，求出分界点处的函数值。

5. 建立方程求解：
   将左右极限和分界点的函数值设为相等，建立方程。解这个方程，就可以求出未知常数$a$的值。

6. 验证其他部分的连续性（如果需要）：
   如果题目要求讨论整个函数的连续性，那么除了分界点外，还需要验证函数在其他部分是否连续。这通常比较简单，因为每个区间上的函数都是初等函数，而初等函数在其定义域内是连续的。

注意事项

• 分段点的重要性：分段函数的连续性主要关注分界点处的连续性，因为其他部分都是初等函数，自然连续。
• 左右极限的求法：左右极限的求法可能因函数表达式的不同而有所不同，需要灵活运用极限的运算法则和技巧。
• 等价无穷小替换：在求极限时，如果遇到0/0型或∞/∞型的极限，可以考虑使用等价无穷小替换来简化计算。
• 可导性的结合：虽然本题主要讨论连续性，但分段函数的可导性也是一个重要的考点。在后续的学习中，需要掌握分段函数在分界点处可导的充分必要条件。

示例

设分段函数

若$f(x)$在$x=1$处连续，求$a$和$b$的值。

解：

1. 求左极限：limx→1−​f(x)=limx→1−​(ax+1)=a⋅1+1=a+1。
2. 求右极限：limx→1+​f(x)=limx→1+​(x2+b)=12+b=1+b。
3. 求分界点的函数值：f(1)=12+b=1+b（注意这里右半部分的函数表达式在$x=1$处也适用）。
4. 建立方程求解：由于$f(x)$在$x=1$处连续，所以limx→1−​f(x)=limx→1+​f(x)=f(1)，即$a+1=1+b=1+b$。这里第二个等式是显然的，主要利用第一个等式$a+1=1+b$，解得$a=b$。但通常题目会给出额外的条件（如$f(1)=2$）来确定$a$和$b$的具体值。假设$f(1)=2$，则$1+b=2$，解得$b=1$，进而$a=1$。