浙江省专升本高数备考必看:历年真题核心知识点全面提炼与优化(12)

分段函数连续性的问题是高等数学中的一个重要考点,它涉及到函数在分界点处的连续性判断以及未知常数的求解。下面我将详细阐述这类问题的解题步骤和注意事项。
解题步骤
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明确分段函数:
首先,需要明确分段函数的定义域以及每个区间上的函数表达式,特别是分界点处的函数表达式。 -
理解连续性的定义:
函数在某点连续的定义是:函数在该点的极限值等于该点的函数值。即,对于分段函数在分界点处,需要满足。 -
求左右极限:
根据分段函数在分界点两侧的函数表达式,分别求出该点处的左极限和右极限。这一步通常需要使用到极限的运算法则、洛必达法则、等价无穷小替换等技巧。 -
求分界点的函数值:
直接根据分段函数的定义,求出分界点处的函数值。 -
建立方程求解:
将左右极限和分界点的函数值设为相等,建立方程。解这个方程,就可以求出未知常数的值。 -
验证其他部分的连续性(如果需要):
如果题目要求讨论整个函数的连续性,那么除了分界点外,还需要验证函数在其他部分是否连续。这通常比较简单,因为每个区间上的函数都是初等函数,而初等函数在其定义域内是连续的。
注意事项
- 分段点的重要性:分段函数的连续性主要关注分界点处的连续性,因为其他部分都是初等函数,自然连续。
- 左右极限的求法:左右极限的求法可能因函数表达式的不同而有所不同,需要灵活运用极限的运算法则和技巧。
- 等价无穷小替换:在求极限时,如果遇到0/0型或∞/∞型的极限,可以考虑使用等价无穷小替换来简化计算。
- 可导性的结合:虽然本题主要讨论连续性,但分段函数的可导性也是一个重要的考点。在后续的学习中,需要掌握分段函数在分界点处可导的充分必要条件。
示例
设分段函数
若在处连续,求和的值。
解:
- 求左极限:。
- 求右极限:。
- 求分界点的函数值:(注意这里右半部分的函数表达式在处也适用)。
- 建立方程求解:由于在处连续,所以,即。这里第二个等式是显然的,主要利用第一个等式,解得。但通常题目会给出额外的条件(如)来确定和的具体值。假设,则,解得,进而。