常见的数学公式和巧记的方法

2024-02-29

1. 加法公式

公式：
$a + b = c$
释义：
加法是最基础的运算，用来求两个数的和。

例题：
计算：$23 + 45$
答案：
$23 + 45 = 68$

巧记技巧：
把加数拆分成方便的数来加。例如：$23 + 45$ 可以拆成 $20 + 40 = 60$ 和 $3 + 5 = 8$，最后再加 $60 + 8 = 68$。

2. 减法公式

公式：
$a - b = c$
释义：
减法是从一个数中减去另一个数，用来求差。

例题：
计算：$75 – 28$
答案：
$75 – 28 = 47$

巧记技巧：
将减数分解成易计算的部分，例如：$75 – 28$ 可以分解为 $75 – 20 = 55$ 和 $55 – 8 = 47$。

3. 乘法公式

公式：
$\times b = c$
释义：
乘法是将一个数与另一个数相加若干次的运算。

例题：
计算：$6 \times 8$
答案：
$6 \times 8 = 48$

巧记技巧：
利用乘法分配律，$6 \times 8$ 可以写成 $6 \times (5 + 3)$，然后分别计算 $6 \times 5 = 30$ 和 $6 \times 3 = 18$，最后加起来得到 $30 + 18 = 48$。

4. 除法公式

公式：
$ab=c\frac{a}{b} = c$
释义：
除法是将一个数平均分成若干份，求每份的大小。

例题：
计算：$48 \div 6$
答案：
$48 \div 6 = 8$

巧记技巧：
将被除数分解。例如：$48 \div 6$ 可以写成 $(30 + 18) \div 6$，然后分别计算 $30 \div 6 = 5$ 和 $18 \div 6 = 3$，最后得到 $5 + 3 = 8$。

5. 平方公式

公式：
$a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
释义：
平方公式用于展开二项式的平方。

例题：
展开 \)(3 + 5)^2$
答案：
$3^2 + 2(3)(5) + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64\(

巧记技巧：
记住“平方加两倍乘积加平方”，例如 \)(a + b)^2$ 就是 $a^2 + 2ab + b^2\(。

6. 立方公式

公式：
$a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
释义：
立方公式用于展开二项式的立方。

例题：
展开 \)(2 + 3)^3$
答案：
$2^3 + 3(2^2)(3) + 3(2)(3^2) + 3^3 = 8 + 36 + 54 + 27 = 125\(

巧记技巧：
记住“立方公式是平方加两倍乘积再加两个平方的乘积，再加立方”，通过公式图示帮助记忆。

7. 差平方公式

公式：
$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
释义：
差平方公式用于快速计算两个平方差。

例题：
计算 \)9^2 – 4^2$
答案：
$9^2 – 4^2 = (9 + 4)(9 – 4) = 13 \$5 = 65$

巧记技巧：
将差平方变成两个括号的乘法形式，例如 $a^2 – b^2$ 就可以变为 $(a + b)(a – b)$。

8. 圆的面积公式

公式：
$\pi r^2$
释义：
圆的面积等于圆的半径平方乘以圆周率 $\pi$。

例题：
计算半径为 $3$ cm 的圆的面积。
答案：
$A = \pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.27$ cm²

巧记技巧：
记住圆的面积公式是“半径的平方乘 $\pi$”，而圆的周长是“2 倍半径乘 $\pi$”。

9. 圆的周长公式

公式：
$2\pi r$
释义：
圆的周长等于半径乘以 2，再乘以圆周率 $\pi$。

例题：
计算半径为 $3$ cm 的圆的周长。
答案：
$C = 2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.85$ cm

巧记技巧：
记住“圆周长公式是2倍半径乘 $\pi$”。

10. 矩形的面积公式

公式：
$\times w$
释义：
矩形的面积等于长乘以宽。

例题：
计算长为 $5$ cm，宽为 $3$ cm 的矩形的面积。
答案：
$A = 5 \times 3 = 15$ cm²

巧记技巧：
矩形的面积就是长乘宽，可以把长和宽想象成两个相邻的边。

11. 矩形的周长公式

公式：
$P = 2 (l + w)$
释义：
矩形的周长等于长加宽的和再乘以 2。

例题：
计算长为 $5$ cm，宽为 $3$ cm 的矩形的周长。
答案：
$P = 2(5 + 3) = 16$ cm

巧记技巧：
周长是两倍的长和宽之和，想象矩形四条边是两边长和两边宽。

12. 正方形的面积公式

公式：
$A = a^2$
释义：
正方形的面积等于边长的平方。

例题：
计算边长为 $4$ cm 的正方形的面积。
答案：
$A = 4^2 = 16$ cm²

巧记技巧：
正方形的面积公式是边长的平方，因为四条边长一样。

13. 正方形的周长公式

公式：
$P = 4 a$
释义：
正方形的周长等于四倍边长。

例题：
计算边长为 $4$ cm 的正方形的周长。
答案：
$P = 4 \times 4 = 16$ cm

巧记技巧：
正方形四条边相等，周长就是边长乘以 4。

14. 梯形的面积公式

公式：
$\frac{(a + b)h}{2}$
释义：
梯形的面积等于两个底边的和乘以高再除以 2。

例题：
计算底边长 $6$ cm 和 $4$ cm，高为 $5$ cm 的梯形的面积。
答案：
$A = \frac{(6 + 4) \times 5}{2} = 25$ cm²

巧记技巧：
梯形的面积是底边和高的组合，记住公式中两底边加起来后再除以 2。

15. 平行四边形的面积公式

公式：
$A = bh$
释义：
平行四边形的面积等于底边长乘以高。

例题：
计算底边长为 $5$ cm，高为 $3$ cm 的平行四边形的面积。
答案：
$A = 5 \times 3 = 15$ cm²

巧记技巧：
平行四边形的面积就是底边乘以高，底边和高垂直。

16. 直角三角形的面积公式

公式：
$\frac{1}{2} \times b \times h$
释义：
直角三角形的面积等于底边与高的乘积的一半。

例题：
计算底边为 $6$ cm，高为 $4$ cm 的直角三角形的面积。
答案：
$A = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ cm²

巧记技巧：
直角三角形的面积可以想象成一个矩形的一半，底边和高相交形成直角。

17. 勾股定理

公式：
$a^2 + b^2 = c^2$
释义：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

例题：
已知直角三角形的两直角边长分别为 $3$ cm 和 $4$ cm，求斜边长度。
答案：
$3^2 + 4^2 = c^2 \Rightarrow 9 + 16 = c^2 \Rightarrow c = 5$ cm

巧记技巧：
勾股定理是计算直角三角形斜边的一个重要工具，记住：两直角边的平方和等于斜边的平方。

18. 长方体的体积公式

公式：
$\times w \times h$
释义：
长方体的体积等于长、宽、高的乘积。

例题：
计算长为 $4$ cm，宽为 $3$ cm，高为 $2$ cm 的长方体的体积。
答案：
$V = 4 \times 3 \times 2 = 24$ cm³

巧记技巧：
长方体的体积是一个立体的概念，想象长方体的每个边长乘起来。

19. 立方体的体积公式

公式：
$V = a^3$
释义：
立方体的体积等于边长的立方。

例题：
计算边长为 $5$ cm 的立方体的体积。
答案：
$V = 5^3 = 125$ cm³

巧记技巧：
立方体的体积是边长的立方，因为它是一个完全对称的立体。

20. 圆柱的体积公式

公式：
$\pi r^2 h$
释义：
圆柱的体积等于圆的面积（$\pi r^2$）乘以圆柱的高。

例题：
计算半径为 $3$ cm，高为 $7$ cm 的圆柱体积。
答案：
$V = \pi \times 3^2 \times 7 = 63\pi \approx 197.92$ cm³

巧记技巧：
圆柱的体积是底面积（圆的面积）乘以高，记住公式中的 $\pi r^2$ 就是圆的面积。

21. 圆锥的体积公式

公式：
$\frac{1}{3} \pi r^2 h$
释义：
圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，底面积乘以高。

例题：
计算半径为 $3$ cm，高为 $7$ cm 的圆锥体积。
答案：
$V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 7 = 21\pi \approx 65.97$ cm³

巧记技巧：
圆锥的体积公式与圆柱的相似，只不过是除以了 3。可以记住“圆锥是圆柱的三分之一”。

22. 球的体积公式

公式：
$\frac{4}{3} \pi r^3$
释义：
球的体积等于四分之三乘以圆周率 $\pi$ 乘以半径的立方。

例题：
计算半径为 $5$ cm 的球体积。
答案：
$V = \frac{4}{3} \pi \times 5^3 = \frac{4}{3} \pi \times 125 \approx 523.6$ cm³

巧记技巧：
球的体积公式是最复杂的，可以记住四分之三乘以半径的立方再乘 $\pi$。

23. 简单百分比公式

公式：
$百分比=部分数值总数值×100%\text{百分比} = \frac{\text{部分数值}}{\text{总数值}} \times 100\%$
释义：
百分比是一个数值占总数值的百分比。

例题：
一个班级有 $40$ 人，$16$ 人喜欢看电影，求喜欢看电影的人占班级人数的百分比。
答案：
百分比 = $\frac{16}{40} \times 100% = 40%$

巧记技巧：
计算百分比时，将部分数值与总数值的比值乘以 100，就能得到百分比。

24. 平均数公式

公式：
$平均数=所有数值之和数值个数\text{平均数} = \frac{\text{所有数值之和}}{\text{数值个数}}$
释义：
平均数是所有数值之和除以数值个数。

例题：
计算 $2, 4, 6, 8, 10$ 的平均数。
答案：
平均数 = $\frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6$

巧记技巧：
计算平均数时，把所有的数加起来，再除以个数即可。

25. 两数之和公式

公式：
$a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
释义：
两数之和的平方等于各自的平方加上两倍乘积。

例题：
计算 $(5 + 7)^2$
答案：
$5^2 + 2(5)(7) + 7^2 = 25 + 70 + 49 = 144$

巧记技巧：
记住“平方加两倍乘积加平方”来帮助记忆。

26. 等差数列的和公式

公式：
$Sn=n2×(a1+an)S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$
释义：
等差数列前 $n$ 项的和等于项数乘以首项与末项的平均值。

例题：
求等差数列 $1, 3, 5, 7, 9$ 的和。
答案：
$S_5 = \frac{5}{2} \times (1 + 9) = \frac{5}{2} \times 10 = 25$

巧记技巧：
记住等差数列的和公式，通过首项和末项的平均值来计算。

27. 勾股定理的应用

公式：
$a^2 + b^2 = c^2$
释义：
勾股定理应用于求直角三角形的斜边。

例题：
在一个直角三角形中，直角边分别为 $6$ cm 和 $8$ cm，求斜边长度。
答案：
$6^2 + 8^2 = c^2 \Rightarrow 36 + 64 = c^2 \Rightarrow c = 10$ cm

巧记技巧：
记住直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方。