示例题目1：已知f(g(x))表达式，求f(x)表达式

题目：已知 f(g(x))=1+log2​(x2+1)​，其中 g(x)=log2​(x2+1)，求 $f(x)$ 的表达式及其定义域。

解答思路：

1. 换元法：令 u=g(x)=log2​(x2+1)，则 f(g(x))=f(u)=1+u​。
2. 写出f(x)：由于 $u$ 是任意的，我们可以将 $u$ 替换为 $x$，得到 f(x)=1+x​。
3. 确定定义域：由于 g(x)=log2​(x2+1) 的值域是 $R$（因为 x2+1≥1，对数函数总是定义良好的），所以 $f(x)$ 的定义域也是 $R$。

示例题目2：已知分段函数f(x)和g(x)的表达式，求f(g(x))表达式

题目：已知

和 $g(x)=x-1$，求 $f(g(x))$ 的表达式。

解答思路：

1. 分段讨论：
   • 当 $g(x)\ge 0$，即 $x-1\ge 0$ 或 $x\ge 1$ 时，f(g(x))=(x−1)2。
   • 当 $g(x)<0$，即 $x-1<0$ 或 $x<1$ 时，$f(g(x))=x-1+1=x$。
2. 合并表达式（如果可能）：在这个例子中，由于 $f(g(x))$ 的表达式基于 $x$ 的不同范围有不同的形式，因此通常不合并。

示例题目3：求y=f(x)的反函数

题目：已知 y=f(x)=x−1x+1​，求 f−1(x) 及其定义域。

解答思路：

1. 解出x：从 y=x−1x+1​ 出发，解出 $x$：$y(x-1)=x+1$，即 $yx-y=x+1$，整理得 x=y−1y+1​。
2. 互换x,y：将 $x,y$ 互换位置，得到 y=x−1x+1​（注意这里只是形式上的互换，实际上我们已经解出了反函数）。但更常见的表示是 f−1(x)=x−1x+1​。
3. 确定定义域：原函数 $f(x)$ 的值域是 y=1（因为分母不能为零），所以反函数 f−1(x) 的定义域也是 x=1