针对“函数四性”（有界性、单调性、奇偶性、周期性）这一知识点，我们可以分别通过例题来加深理解和掌握。以下是对每种性质的简要说明及例题示例：

1. 有界性

说明：有界函数指的是在某个区间内，函数的值域是有限的，即存在两个数M和m（M>m），使得对于该区间内的所有x，都有m≤f(x)≤M。

例题：判断函数f(x) = sinx在区间[0, π]上是否有界？

解答：在区间[0, π]上，sinx的值域为[0, 1]，因此存在M=1和m=0，使得对于所有x∈[0, π]，都有0≤sinx≤1，所以f(x) = sinx在区间[0, π]上有界。

例题2：判断函数f(x)=x2+11​在全体实数范围$R$上是否有界。

解答：对于任意$x\in R$，有x2≥0，所以x2+1≥1。进而，0<x2+11​≤1。因此，存在$M=1$和$m=0$，使得$m\le f(x)\le M$对所有$x\in R$成立，所以$f(x)$在$R$上有界。

2. 单调性

说明：单调性描述的是函数在某个区间内是单调增加还是单调减少。

例题1：判断函数f(x) = x^2在区间(0, +∞)上的单调性。

解答：对于任意x1, x2∈(0, +∞)，且x1<x2，有f(x1) – f(x2) = x1^2 – x2^2 = (x1-x2)(x1+x2)。由于x1, x2>0，所以x1+x2>0，且x1-x2<0，因此f(x1) – f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)。所以f(x) = x^2在区间(0, +∞)上单调增加。

例题2：判断函数f(x)=log2​(x)在区间$(0,+\infty )$上的单调性。

解答：对于任意x1​,x2​∈(0,+∞)，且x1​<x2​，有x1​x2​​>1。因为对数函数log2​(x)是增函数，所以log2​(x2​)−log2​(x1​)=log2​(x1​x2​​)>0，即log2​(x2​)>log2​(x1​)。所以f(x)=log2​(x)在区间$(0,+\infty )$上单调增加。

3. 奇偶性

说明：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

例题1：判断函数f(x) = x^3的奇偶性。

解答：函数f(x) = x3的定义域为全体实数R，关于原点对称。计算f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)，所以f(x) = x3是奇函数。

例题2：判断函数$f(x)=|x|$的奇偶性。

解答：函数$f(x)=|x|$的定义域为全体实数$R$，关于原点对称。对于任意$x\in R$，有$f(-x)=|-x|=|x|=f(x)$。因此，$f(x)=|x|$是偶函数。

4. 周期性

说明：周期函数是指存在一个正数T，使得对于所有x，都有f(x+T) = f(x)。T称为函数的最小正周期，但并非所有周期函数都有最小正周期。

例题1：判断函数f(x) = sinx的周期性，并求其最小正周期。

解答：对于任意x，有f(x+2π) = sin(x+2π) = sinx（利用正弦函数的周期性），所以f(x) = sinx是周期函数。其中，2π是sinx的一个周期，且是最小的正周期，因此sinx的最小正周期为2π。

例题2：判断函数$f(x)=\cos (2x)$的周期性，并求其最小正周期。

解答：对于任意$x$，有$f(x+\pi )=\cos (2(x+\pi ))=\cos (2x+2\pi )=\cos (2x)$（利用余弦函数的周期性）。因此，$\pi$是$f(x)=\cos (2x)$的一个周期。又因为$2\pi$不是$f(x)$的更小正周期（可以验证f(x+2π​)=f(x)），所以$\pi$是$f(x)=\cos (2x)$的最小正周期。

例题3（涉及非传统周期函数）：判断函数f(x)=sin2(x)的周期性，并求其最小正周期。

解答：利用三角恒等式sin2(x)=21−cos(2x)​，我们可以将f(x)=sin2(x)转化为与余弦函数相关的形式。由于$\cos (2x)$的周期为$\pi$，那么sin2(x)的周期也是2π​（因为$2x$中的系数2使得周期减半）。验证这一点，我们有f(x+2π​)=sin2(x+2π​)=cos2(x)=1−sin2(x)=sin2(x)，但f(x+π)=sin2(x+π)=sin2(x)，且$\pi$不是更小的正周期，所以f(x)=sin2(x)的最小正周期为2π​。

通过以上例题，我们可以更好地理解和掌握函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性这四种基本性质。