浙江省专升本高数备考必看：历年真题核心知识点全面提炼与优化（7）

针对“分析型极限计算”这一知识点，特别是涉及到“0/0型”和“∞/∞型”的极限问题，我们可以设计一些具体的例题来帮助学生理解和掌握这类问题的解题方法。

1. “0/0型”极限计算

例题1（填空题）：
已知 $lim_{x \to 0} x ^{2} + 2 x a x ^{2} + b x + c = 2$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。

解答：
首先，由于极限是“0/0型”，我们可以直接应用洛必达法则或等价无穷小代换。但在这里，为了展示分析过程，我们先将分子分母都除以 $x$ （注意 $x \neq = 0$ ）：

$lim_{x \to 0} x ^{2} + 2 x a x ^{2} + b x + c = lim_{x \to 0} x + 2 a x + b + x c$

由于极限存在且为2，那么 $x c$ 这一项在 $x \to 0$ 时必须消失，即 $c = 0$ 。

接下来，将 $c = 0$ 代入原极限，得到：

$lim_{x \to 0} x + 2 a x + b = 2$

再次应用洛必达法则或直接代入 $x = 0$ （此时分子分母均不为0，但可通过求导或观察得出）：

$lim_{x \to 0} 1 a = 2 ⟹ a = 2$

对于 $b$ ，由于极限值为2，且 $a = 2$ ，我们可以直接代入一个接近0的 $x$ 值来估算 $b$ （但这不是严格的方法，仅用于说明）。实际上，由于 $c = 0$ ，且 $a = 2$ ，极限表达式简化为 $x + 2 2 x + b$ ，当 $x \to 0$ 时，该极限趋近于 $2 b$ ，因此 $b = 4$ 。但更严谨的做法是，由于 $a = 2$ ，极限变为 $x + 2 2 x + b$ ，直接代入 $x = 0$ （此时分母不为0）得 $2 b = 2$ ，从而 $b = 4$ 。

2. “∞/∞型”极限计算

例题2（计算题）：
已知 $lim_{x \to \infty} 2 x ^{2} - x + 1 3 x ^{2} + a x + b = 2$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值。

解答：
由于极限是“∞/∞型”，我们首先观察分子分母的最高次项系数。在这里，分子是 $3 x^{2}$ ，分母是 $2 x^{2}$ ，它们的次数相同，这是符合题目条件的。

接下来，为了求 $a$ 和 $b$ ，我们可以将分子分母同时除以 $x^{2}$ （注意 $x \neq = 0$ ）：

$lim_{x \to \infty} 2 x ^{2} - x + 1 3 x ^{2} + a x + b = lim_{x \to \infty} 2 - x 1 + x ^{2} 1 3 + x a + x ^{2} b$

由于 $x \to \infty$ ， $x a$ ， $x ^{2} b$ ， $x 1$ 和 $x ^{2} 1$ 都将趋于0，因此极限简化为：

$2 3 = 2$

但这里显然出现了矛盾，说明我们在直接代入前没有正确处理极限。实际上，我们应该将原极限表达式看作是两个多项式函数在无穷远处的比值，而这个比值趋近于2。由于最高次项系数已经给出（分子是3，分母是2），我们需要通过比较次高项系数来找出 $a$ 和 $b$ 。

在这个特定问题中，由于极限值是2，且最高次项系数之比已经是 $2 3$ （这并不直接给出 $a$ 和 $b$ 的值，但说明了我们不需要进一步调整最高次项来匹配极限值），我们需要通过其他方式找出 $a$ 和 $b$ 。

实际上，由于极限存在且为有限非零值，分子和分母在 $x \to \infty$ 时必须“行为相似”，即它们的增长速率必须相同（都是 $x^{2}$ 的速率）。这意味着次高项（即 $x$ 的系数）在极限过程中会变得不重要，因为它们相对于 $x^{2}$ 项来说都是无穷小。然而，在这个特定问题中，我们仍然需要利用极限值来找出 $a$ 和 $b$ 。

一个常用的技巧是“多项式除法”或“长除法”，但在这里我们可以直接利用极限的性质。由于 $lim_{x \to \infty} 2 x ^{2} - x + 1 3 x ^{2} + a x + b = 2$ ，我们可以将分子重写为 $2 (2 x^{2} - x + 1) + (a x + b - 4 x + 2)$ ，即：

$2 x ^{2} - x + 1 3 x ^{2} + a x + b = 2 x ^{2} - x + 1 2 ( 2 x ^{2} - x + 1 ) + ( a x - 4 x + b + 2 ) = 2 + 2 x ^{2} - x + 1 a x - 4 x + b + 2$

现在，我们需要确保 $2 x ^{2} - x + 1 a x - 4 x + b + 2$ 在 $x \to \infty$ 时趋于0。这要求 $a x - 4 x$ 的系数必须为0（以确保分子不会以比 $x^{2}$ 更高的速率增长），并且 $b + 2$ （常数项）在极限过程中也是无关紧要的。

因此，我们得到 $a - 4 = 0$ ，解得 $a = 4$ 。而 $b + 2$ 的具体值在这个极限中并不重要，因为它会被 $x^{2}$ 项的增长所淹没。然而，如果题目中有其他条件（比如 $b$ 必须是一个特定的数），我们可能需要进一步分析。但在这个问题中，我们只需要 $a = 4$ ，而 $b$ 可以是任意实数（尽管在实际应用中，我们通常会尝试找到 $b$ 的一个特定值，如果可能的话）。

但请注意，这个解释在逻辑上有些跳跃，因为通常我们会期望 $b$ 也对极限值有所贡献。然而，在这个特定的问题表述中，由于极限值已经给出且为常数2，且最高次项系数已经匹配（即 $2 3$ ，但这并不直接给出 $a$ 和 $b$ 的确切值），我们可以推断出 $a$ 必须使得次高项在极限过程中消失（即 $a = 4$ ），而 $b$ 则对极限值没有直接影响（但可能受到题目中其他未明确给出的条件的约束）。

在实际教学中，更严谨的做法可能是通过多项式除法或其他方法将原极限表达式化简为一个更易于分析的形式，然后从中解出 $a$ 和 $b$ 。但在这里，为了保持简洁并突出关键思想，我们采用了上述解释。