在高等数学中，闭区间上函数的连续性、可导性、可微性、可积性以及与这些性质相关的定理和性质是重要的考点。下面我将针对您提出的问题逐一进行解答。

1. 连续性与可导性

• 连续必可导吗？ 不一定。例如，函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但不可导。
• 可导必连续吗？ 是的。如果一个函数在某点可导，那么它在该点一定连续。

  例题1：判断函数f(x)=x​在$x=0$处是否可导。

  解答：函数f(x)=x​在$x=0$处不连续（因为定义域不包括0），所以不可导。但注意，如果考虑$x>0$的情况，则函数在该区间内连续且可导。

  例题2：判断函数$f(x)=|x|$在$x=0$处是否可导。

  解答：函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但不可导，因为左导数limx→0−​xf(x)−f(0)​=−1与右导数limx→0+​xf(x)−f(0)​=1不相等。

2. 连续性与可微性

• 连续必可微吗？ 不一定。与可导性类似，连续不一定可微。
• 可微必连续吗？ 是的。可微性意味着函数在该点既有左导数也有右导数且相等，因此函数在该点连续。

3. 连续性与可积性

• 连续必可积吗？ 是的。在闭区间上连续的函数一定可积（根据黎曼积分的定义）。
• 可积必连续吗？ 不一定。例如，狄利克雷函数在闭区间上可积但处处不连续。

  例题1：判断函数f(x)={10​if x∈Qif x∈/Q​
  在闭区间$[0,1]$上是否可积。

  解答：该函数在$[0,1]$上虽然处处不连续，但由于其有界且只有可数多个不连续点，因此根据勒贝格积分理论，该函数在$[0,1]$上可积（但黎曼积分下不可积，因为不满足黎曼可积条件）。不过，为了简化，我们通常考虑的是黎曼积分，此时可以说该函数在黎曼积分意义下不可积。

  例题2：判断函数f(x)=x2在闭区间$[0,1]$上是否可积。

  解答：显然，函数f(x)=x2在闭区间$[0,1]$上连续，因此根据黎曼积分的性质，该函数在该区间上可积。

4. 连续性与最值

• 连续必有最值吗？ 是的。在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值（根据闭区间上连续函数的性质）。
• 最值在哪里取到？ 最值可能在区间的端点或内部的极值点处取得。

  例题1：求函数f(x)=x2在闭区间$[-1,2]$上的最大值和最小值。

  解答：函数f(x)=x2在闭区间$[-1,2]$上连续。求导得f′(x)=2x，令f′(x)=0得$x=0$（不在区间端点上，但考虑在内）。计算端点和驻点的函数值：$f(-1)=1$，$f(0)=0$，$f(2)=4$。因此，最大值为4，在$x=2$处取得；最小值为0，在$x=0$处取得。

5. 零点存在定理、介值定理

• 零点存在定理：如果函数在闭区间的两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
• 介值定理：如果函数在闭区间上连续，且在该区间的两端取值分别为$M$和$N$，则对于$M$和$N$之间的任意值$C$，函数在该区间内至少有一点使得函数值等于$C$。

  例题1：证明方程x3−2x−5=0在区间$[2,3]$内至少有一个根。

  解答：计算f(2)=23−2×2−5=−1<0，f(3)=33−2×3−5=16>0。由于函数f(x)=x3−2x−5在区间$[2,3]$上连续，根据零点存在定理，方程x3−2x−5=0在区间$[2,3]$内至少有一个根。

6. 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理

• 罗尔中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且区间两端函数值相等，则至少存在一点使得函数在该点的导数为零。
• 拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点使得函数在该点的导数与区间两端函数值之差的商等于区间长度的倒数乘以函数在该点处的增量。

  例题5：验证函数$f(x)=\cos x$在区间$[0,2\pi ]$上是否满足罗尔中值定理。

  解答：函数$f(x)=\cos x$在区间$[0,2\pi ]$上连续，在$(0,2\pi )$内可导，且$f(0)=f(2\pi )=1$。但罗尔中值定理要求区间内导数必须改变符号，而f′(x)=−sinx在$[0,2\pi ]$上并未改变符号（尽管它为零

  的点有多个，但罗尔中值定理更严格地要求存在至少一个内部点使得导数在该点为零且该点两侧的导数符号相反）。然而，在这个特定的例子中，虽然f′(x)=−sinx在$[0,2\pi ]$内有多个零点（即$x=\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$，但注意$3\pi$不在区间$[0,2\pi ]$内），但没有一个零点使得其两侧的导数符号相反（因为$\sin x$在$[0,\pi ]$和$[\pi ,2\pi ]$上都是先增后减，但并未跨越零点线并改变符号）。

  因此，尽管函数$f(x)=\cos x$在区间$[0,2\pi ]$上满足罗尔中值定理的前两个条件（连续性和可导性，且在区间两端取值相等），但它不满足第三个隐含条件，即导数在该区间内必须“足够变化”以使得存在至少一个内部点满足罗尔中值定理的结论。所以，我们不能直接应用罗尔中值定理来断定在区间$[0,2\pi ]$内存在某个$c$使得f′(c)=0且$f(c)$是$f(0)$和$f(2\pi )$之间的极值（尽管实际上这样的$c$是存在的，即$c=\pi$和$c=2\pi$，但罗尔中值定理的表述并不直接适用于这种情况）。

  为了更准确地应用罗尔中值定理，我们应该选择一个更小的子区间，比如$[0,\pi ]$或$[\pi ,2\pi ]$，在这些子区间上，函数$f(x)=\cos x$的导数确实会改变符号。例如，在区间$[0,\pi ]$上，f′(x)=−sinx从正变为负，因此存在某个$c\in (0,\pi )$使得f′(c)=0，这正是罗尔中值定理所保证的。

7. 积分中值定理、定积分性质

• 积分中值定理：如果函数在闭区间上连续，则至少存在一点使得函数在该点的值等于函数在该区间上的定积分除以区间长度。
• 定积分性质：包括线性性、可加性、积分区间可变性等。

  例题1：应用积分中值定理于函数f(x)=x2在区间$[0,1]$上。

  解答：根据积分中值定理，存在某个$c\in (0,1)$使得

  ∫01​x2dx=f(c)⋅(1−0)=f(c)

  首先计算定积分：

  ∫01​x2dx=[31​x3]01​=31​

  然后找到满足条件的$c$。由于f(c)=c2，我们解方程：

  c2=31​⟹c=±33​​

  但由于$c$必须在区间$(0,1)$内，所以只取正值，即c=33​​。注意，积分中值定理只保证存在一个这样的$c$，但不保证它是唯一的。在这个例子中，33​​是满足条件的一个值。

8. 变上下限积分求导

变上下限积分求导是微积分中的一个重要技巧，它允许我们对包含积分的表达式进行求导。

函数四性在积分或求导后的变化

• 有界性：有界函数求导后不一定有界（如x1​在$(0,1)$上有界但求导后无界），但积分后通常保持有界（除非积分区间无限）。
• 单调性：单调函数求导后不一定单调（如x3单调递增但求导后3x2在$x=0$处改变单调性），但积分后保持单调性。
• 奇偶性：奇偶函数求导后奇偶性可能改变（如x3是奇函数但求导后3x2是偶函数），但积分后保持奇偶性（在适当的积分区间上）。
• 周期性：周期函数求导后不一定周期（如$\sin x$周期但求导后$\cos x$非周期），但积分后保持周期性（在适当的积分区间上）。

以上是对您提出问题的详细解答。